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Unter Dualität von Lp-Räumen, kurz Lp-Dualität, versteht man eine Reihe von Sätzen aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis, die sich mit den Dualräumen von Lp-Räumen beschäftigen, wobei 1 ≤ ≤ p < ∞ ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } eine reelle Zahl ist. Die wesentliche Aussage lautet, dass Dualräume von Lp-Räumen wieder von dieser Art sind, nämlich Lq-Räume, wobei 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} sein muss. Das heißt, in einprägsamer Form gilt ( L p ) ′ ≅ ≅ L q {\displaystyle (L^{p})\,'\cong L^{q}} .

• Der Fall p > 1

• Der Fall p = 1

• Der Fall 0 < p < 1

• Banachraum-wertige L p -Funktionen

• Gewichtete l p -Räume

• Einzelnachweise

Es sei q {\displaystyle q} der sogenannte zu p {\displaystyle p} konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl 1 < q < ∞ ∞ {\displaystyle 1<q<\infty } , für die 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} gilt. Dies ist äquivalent mit q = p p − − 1 {\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}} . Ist weiter ( X , A , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} ein Maßraum, dann kann man die Banachräume L p ( X , A , μ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )} und L q ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )} über dem Körper K {\displaystyle \mathbb {K} } bilden, wobei K {\displaystyle \mathbb {K} } für R {\displaystyle \mathbb {R} } oder C {\displaystyle \mathbb {C} } steht. Wie üblich werden fast überall übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibweise über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden. Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

| ∫ ∫ X f ( x ) g ( x ) d μ μ ( x ) | ≤ ≤ ‖ ‖ f ‖ ‖ p ‖ ‖ g ‖ ‖ q {\displaystyle \left|\int _{X}f(x)g(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\right|\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} für alle f ∈ ∈ L p ( X , A , μ μ ) , g ∈ ∈ L q ( X , A , μ μ ) {\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ),\,g\in L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )} ,

wobei ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} die Norm auf dem Lp-Raum bezeichnet und entsprechend ‖ ‖ ⋅ ⋅ ‖ ‖ q {\displaystyle \|\cdot \|_{q}} . Diese Abschätzung zeigt, dass

T g : : L p ( X , A , μ μ ) → → K , f ↦ ↦ ∫ ∫ X f g d μ μ {\displaystyle T_{g}\colon L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow \mathbb {K} ,\quad f\mapsto \int _{X}fg\,\mathrm {d} \mu }

ein beschränktes lineares Funktional auf L p ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )} , also ein Element des Dualraums L p ( X , A , μ μ ) ′ {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,'} ist, mit ‖ ‖ T g ‖ ‖ ≤ ≤ ‖ ‖ g ‖ ‖ q {\displaystyle \|T_{g}\|\leq \|g\|_{q}} . Mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodým kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf L p ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )} von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satzcite-ref-1[1]cite-ref-2[2]:

Es seien ( X , A , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} ein Maßraum und 1 < p < ∞ ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } . Dann ist die Abbildung T : L q ( X , A , μ μ ) → → L p ( X , A , μ μ ) ′ , g ↦ ↦ T g , T g ( f ) := ∫ ∫ X f g d μ μ {\displaystyle T:L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,',\quad g\mapsto T_{g},\quad T_{g}(f):=\int _{X}fg\,\mathrm {d} \mu }

ein isometrischer Isomorphismus.

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz L p ( X , A , μ μ ) ′ ≅ ≅ L q ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,'\cong L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )} schreibt.

Da p {\displaystyle p} und q {\displaystyle q} ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort

L p ( X , A , μ μ ) ″ ≅ ≅ L q ( X , A , μ μ ) ′ ≅ ≅ L p ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,''\cong L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,'\cong L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )} .

Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von L p ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )} in seinen Bidualraum handelt. Die Lp-Räume sind für 1 < p < ∞ ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } also reflexiv.

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als Satz von Riesz zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene Hilbertraum-Fall L 2 ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{2}([0,1])} geht auf M. Fréchet zurück.cite-ref-3[3] Das Einheitsintervall steht hier für den Maßraum [0,1] mit der Borelschen σ-Algebra und dem auf [0,1] eingeschränkten Lebesgue-Maß. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (oder Rieszscher Darstellungssatz) bekannt. F. Riesz hat drei Jahre später den Fall L p [ 0 , 1 ] {\displaystyle L^{p}[0,1]} für 1 < p < ∞ ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } bewiesen.cite-ref-4[4] Das wurde dann von O. M. Nikodým auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert.cite-ref-5[5] Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von E. J. McShane behandelt.cite-ref-6[6]

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die Folgenräume ℓ ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} , die man erhält, wenn man X = N {\displaystyle X=\mathbb {N} } und für μ μ {\displaystyle \mu } das Zählmaß nimmt. Die Elemente aus ℓ ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} werden als Folgen ( a n ) n {\displaystyle (a_{n})_{n}} geschrieben, wobei eine solche Folge für die L p {\displaystyle L^{p}} -Funktion N → → K , n ↦ ↦ a n {\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {K} ,\,n\mapsto a_{n}} steht. Für die Dualität zwischen ℓ ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} und ℓ ℓ q {\displaystyle \ell ^{q}} erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:

T b ( ( a n ) n ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n b n {\displaystyle T_{b}((a_{n})_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} für alle ( a n ) n ∈ ∈ ℓ ℓ p {\displaystyle (a_{n})_{n}\in \ell ^{p}} und b = ( b n ) n ∈ ∈ ℓ ℓ q {\displaystyle b=(b_{n})_{n}\in \ell ^{q}} .

Diese Aussage kann auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

Ein entsprechender Satz über den Dualraum von L1-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man q = ∞ ∞ {\displaystyle q=\infty } nehmen. H. Steinhaus konnte 1919 in der Tat

L 1 ( [ 0 , 1 ] ) ′ ≅ ≅ L ∞ ∞ ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{1}([0,1])\,'\cong L^{\infty }([0,1])}

zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator T {\displaystyle T} analogen Operator vermittelt wird.cite-ref-7[7] Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen:cite-ref-8[8]cite-ref-9[9]

Es sei ( X , A , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ {\displaystyle \sigma } -endlicher Maßraum. Dann ist die Abbildung T : L ∞ ∞ ( X , A , μ μ ) → → L 1 ( X , A , μ μ ) ′ , g ↦ ↦ T g , T g ( f ) := ∫ ∫ X f g d μ μ {\displaystyle T:L^{\infty }(X,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )\,',\quad g\mapsto T_{g},\quad T_{g}(f):=\int _{X}fg\mathrm {d} \mu }

ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der σ σ {\displaystyle \sigma } -Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } die σ σ {\displaystyle \sigma } -Algebra A {\displaystyle {\mathcal {A}}} derjenigen Mengen, die abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß μ μ {\displaystyle \mu } das Zählmaß, so ist L 1 ( R , A , μ μ ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}},\mu )} der Raum aller Funktionen f : : R → → K {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {K} } , die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die ∑ ∑ x ∈ ∈ R | f ( x ) | < ∞ ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{x\in \mathbb {R} }|f(x)|<\infty } gilt. Offenbar ist durch f ↦ ↦ ∑ ∑ x ≥ ≥ 0 f ( x ) {\displaystyle \textstyle f\mapsto \sum _{x\geq 0}f(x)} ein beschränktes lineares Funktional auf L 1 ( R , A , μ μ ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}},\mu )} definiert. Wäre dieses von der Form T g {\displaystyle T_{g}} für ein g ∈ ∈ L ∞ ∞ ( R , A , μ μ ) {\displaystyle g\in L^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathcal {A}},\mu )} , so müsste g {\displaystyle g} konstant gleich 1 auf [ 0 , ∞ ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} und konstant gleich 0 auf ( − − ∞ ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} sein. Eine solche Funktion ist aber nicht A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -messbar. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht- σ σ {\displaystyle \sigma } -endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigenden Resultat kommt, nämlich die der lokalkompakten Gruppen. In der harmonischen Analyse ist folgender Satz wichtigcite-ref-10[10]:

Es seien G {\displaystyle G} eine lokalkompakte Gruppe, B {\displaystyle {\mathcal {B}}} die Borelsche σ σ {\displaystyle \sigma } -Algebra auf G {\displaystyle G} und μ μ {\displaystyle \mu } ein reguläres Borelmaß auf G {\displaystyle G} . Dann ist T : : L ∞ ∞ ( G , B , μ μ ) → → L 1 ( G , B , μ μ ) ′ , g ↦ ↦ T g , T g ( f ) := ∫ ∫ G f g d μ μ {\displaystyle T\colon L^{\infty }(G,{\mathcal {B}},\mu )\rightarrow L^{1}(G,{\mathcal {B}},\mu )\,',\quad g\mapsto T_{g},\quad T_{g}(f):=\int _{G}fg\,\mathrm {d} \mu }

ein isometrischer Isomorphismus.

Dabei heißt das Maß μ μ {\displaystyle \mu } regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

• μ μ ( K ) < ∞ ∞ {\displaystyle \mu (K)<\infty } für alle kompakten Teilmengen K ⊂ ⊂ G {\displaystyle K\subset G} ,

• μ μ ( U ) = sup { μ μ ( K ) ; K ⊂ ⊂ U , K kompakt } {\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K);\,K\subset U,K{\mbox{ kompakt}}\}} für alle offenen Teilmengen U ⊂ ⊂ G {\displaystyle U\subset G} ,

• μ μ ( B ) = inf { μ μ ( U ) ; B ⊂ ⊂ U ⊂ ⊂ G , U offen } {\displaystyle \mu (B)=\inf\{\mu (U);\,B\subset U\subset G,U{\mbox{ offen}}\}} für alle Borelmengen B ∈ ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} .

Der Satz gilt also insbesondere auch für das Haarsche Maß auf G {\displaystyle G} , das heißt, man kann den Dualraum der Gruppenalgebra L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)} auch für nicht- σ σ {\displaystyle \sigma } -endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

Für 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} ist Lp(X,A,μ) zwar kein normierter Raum, aber immerhin ein vollständiger topologischer Vektorraumcite-ref-elstrodt-11-0[11]cite-ref-12[12] mit der Quasinorm

N p : L p ( X , A , μ μ ) → → R , N p ( f ) := ( ∫ ∫ X | f | p d μ μ ) 1 p {\displaystyle N_{p}\,:\,L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\,\rightarrow \,\mathbb {R} \;,\qquad N_{p}\left(f\right):=\left(\int _{X}\left|f\right|^{p}\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}}

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

ϱ ϱ p : L p ( X , A , μ μ ) → → R , ϱ ϱ p ( f ) := ( N p ( f ) ) p = ∫ ∫ X | f | p d μ μ . {\displaystyle \varrho _{p}\,:\,L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\,\rightarrow \,\mathbb {R} \;,\qquad \varrho _{p}\left(f\right):=\left(N_{p}\left(f\right)\right)^{p}=\int _{X}\left|f\right|^{p}\mathrm {d} \mu \;.}

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf L p ( X , A , μ μ ) {\displaystyle L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)} Punkte trennen kann.

Prototypisch ist das Beispiel L p ( [ 0 , 1 ] ) := L p ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) , λ λ ) {\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right):=L^{p}\left(\left[0,\,1\right],{\mathcal {B}}\left(\left[0,\,1\right]\right),\lambda \right)} mit der Borel-Algebra B ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\left(\left[0,\,1\right]\right)} über dem Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,\,1\right]} und dem Borel-Lebesgue-Maß λ λ {\displaystyle \lambda } . Hier sind die einzigen konvexen offenen Mengen die leere Menge ∅ {\displaystyle \emptyset } und der gesamte Raum L p ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)} selbst.cite-ref-elstrodt-11-1[11]cite-ref-13[13]cite-ref-14[14] Da Urbilder konvexer offener Mengen in K {\displaystyle \mathbb {K} } unter einem linearen stetigen Funktional konvexe offene Mengen in L p ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)} sind, folgt, dass das Nullfunktional das einzige lineare stetige Funktional ist. Der Dualraum ist somit trivial:

( L p ( [ 0 , 1 ] ) ) ′ = { 0 } {\displaystyle \left(L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)\right)'=\left\{0\right\}} .

Insbesondere ist in diesem Raum die Aussage des Trennungssatzes nicht gültig, da sich keine zwei Punkte durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen lassen. Die schwache Topologie auf L p ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle L^{p}\left(\left[0,\,1\right]\right)} ist indiskret.

Es gibt aber auch weniger extreme Beispiele, wie die Folgenräume ℓ ℓ p := L p ( N , P ( N ) , μ μ ) {\displaystyle \ell ^{p}:=L^{p}\left(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}\left(\mathbb {N} \right),\mu \right)} mit dem Zählmaß μ μ {\displaystyle \mu } . Diese Räume besitzen zwar nichttriviale absolutkonvexe offene Mengen, aber nicht genug um eine Nullumgebungsbasis zu bilden: Da jede konvexe offene Menge in ℓ ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} unbeschränkt ist, sind auch die ℓ ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} nicht lokalkonvex.cite-ref-15[15] Trotzdem gibt es „viele“ lineare stetige Funktionale. Es gilt nämlich für 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} :

( ℓ ℓ p ) ′ = ( ℓ ℓ 1 ) ′ = ℓ ℓ ∞ ∞ . {\displaystyle \left(\ell ^{p}\right)'=\left(\ell ^{1}\right)'=\ell ^{\infty }\;.}

Die Inklusion „ ⊃ ⊃ {\displaystyle \supset } “ sieht man leicht, denn für x = ( x k ) ∈ ∈ ℓ ℓ p {\displaystyle x=\left(x_{k}\right)\in \ell ^{p}} und y = ( y k ) ∈ ∈ ℓ ℓ ∞ ∞ {\displaystyle y=\left(y_{k}\right)\in \ell ^{\infty }} gilt:

| ∑ ∑ k ∈ ∈ N x k y k | ≤ ≤ ( ∑ ∑ k ∈ ∈ N | x k | ) ( sup k ∈ ∈ N | y k | ) ≤ ≤ N p ( x ) ‖ y ‖ ∞ ∞ . {\displaystyle \left|\sum \limits _{k\in \mathbb {N} }x_{k}\,y_{k}\right|\leq \left(\sum \limits _{k\in \mathbb {N} }\left|x_{k}\right|\right)\,\left(\sup \limits _{k\in \mathbb {N} }\left|y_{k}\right|\right)\leq N_{p}\left(x\right)\,\left\|y\right\|_{\infty }\;.}

Für X = { 1 , … … n } {\displaystyle X=\left\{1,\,\ldots \,n\right\}} , A = P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}\left(X\right)} und μ μ {\displaystyle \mu } das Zählmaß, also L p ( X , A , μ μ ) ≅ ≅ K n {\displaystyle L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\cong \mathbb {K} ^{n}} mit der p {\displaystyle p} -Quasinorm, ist die Topologie auf diesem Raum sogar mit der üblichen Topologie des K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} identisch, da es auf jedem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum genau eine Hausdorff-Topologie gibt, die den Raum zu einem topologischen Vektorraum macht.cite-ref-16[16] Obwohl die Kugeln in der erzeugenden Quasinorm nicht konvex sind, erzeugt diese eine lokalkonvexe Topologie:

n 1 − − 1 p N p ( x ) ≤ ≤ ‖ x ‖ 1 ≤ ≤ N p ( x ) . {\displaystyle n^{1-{\frac {1}{p}}}\,N_{p}\left(x\right)\leq \left\|x\right\|_{1}\leq N_{p}\left(x\right)\;.}

Der Satz von Hahn-Banach ist anwendbar und der Dualraum wieder K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} , wie im euklidischen bzw. unitären Fall. Die schwache Topologie ist aus den gleichen Gründen wie oben mit der p {\displaystyle p} -Quasinormtopologie sowie der üblichen Topologie identisch.

Ist neben dem Maßraum ( X , A , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} noch ein Banachraum E {\displaystyle E} gegeben, so kann man den Raum L p ( X , A , μ μ , E ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)} aller A {\displaystyle {\mathcal {A}}} -messbaren Funktionen f : : X → → E {\displaystyle f\colon X\rightarrow E} , für die das Integral ∫ ∫ X ‖ ‖ f ( x ) ‖ ‖ p d μ μ ( x ) {\displaystyle \textstyle \int _{X}\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)} endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch Bochner-Integral). Die Norm

‖ ‖ f ‖ ‖ p := ( ∫ ∫ X ‖ ‖ f ( x ) ‖ ‖ p d μ μ ( x ) ) 1 p {\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{X}\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}}

macht L p ( X , A , μ μ , E ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)} zu einem Banachraum. Sind nun f ∈ ∈ L p ( X , A , μ μ , E ) {\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)} und g ∈ ∈ L q ( X , A , μ μ , E ′ ) {\displaystyle g\in L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')} , so kann man

∫ ∫ X g f d μ μ = ∫ ∫ X g ( x ) ⏟ ⏟ ∈ ∈ E ′ ( f ( x ) ⏟ ⏟ ∈ ∈ E ) d μ μ ( x ) {\displaystyle \int _{X}gf\,\mathrm {d} \mu =\int _{X}\underbrace {g(x)} _{\in E\,'}(\underbrace {f(x)} _{\in E})\,\mathrm {d} \mu (x)}

bilden, und es gilt:

| ∫ ∫ X g f d μ μ | ≤ ≤ ∫ ∫ X | g ( x ) ( f ( x ) ) | d μ μ ( x ) ≤ ≤ ∫ ∫ X ‖ ‖ g ( x ) ‖ ‖ q ‖ ‖ f ( x ) ‖ ‖ p d μ μ ( x ) ≤ ≤ ‖ ‖ g ‖ ‖ q ‖ ‖ f ‖ ‖ p {\displaystyle \left|\int _{X}gf\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{X}|g(x)(f(x))|\,\mathrm {d} \mu (x)\leq \int _{X}\|g(x)\|_{q}\|f(x)\|_{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\leq \|g\|_{q}\|f\|_{p}} .

Man erhält daher wieder eine Abbildung

T : : L q ( X , A , μ μ , E ′ ) → → L p ( X , A , μ μ , E ) ′ {\displaystyle T\colon L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')\rightarrow L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)\,'}

und man kann folgenden Satz zeigencite-ref-17[17]:

Sind ( X , A , μ μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} ein Maßraum, E {\displaystyle E} ein separabler, reflexiver Banachraum und 1 < p < ∞ ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } sowie q {\displaystyle q} der zu p {\displaystyle p} konjugierte Exponent, so ist T : : L q ( X , A , μ μ , E ′ ) → → L p ( X , A , μ μ , E ) ′ , g ↦ ↦ T g , T g ( f ) = ∫ ∫ X g f d μ μ {\displaystyle T\colon L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')\rightarrow L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)\,',\,g\mapsto T_{g},\,T_{g}(f)=\int _{X}gf\,\mathrm {d} \mu }

ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel

L p ( X , A , μ μ , E ) ′ ≅ ≅ L q ( X , A , μ μ , E ′ ) {\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E)\,'\cong L^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu ,E\,')} .

Es sei eine Folge w = ( w n ) n ∈ ∈ N {\displaystyle w=(w_{n})_{n\in \mathbb {N} }} positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige gewichtete ℓ ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} -Raum ist der Folgenraum

ℓ ℓ p ( w ) := { ( a n ) n | ∑ ∑ n ∈ ∈ N | a n | p w n p < ∞ ∞ } {\displaystyle \ell ^{p}(w):=\left\{(a_{n})_{n}\left|\,\textstyle \sum \limits _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|^{p}w_{n}^{p}<\infty \right.\right\}}

mit der Norm

‖ ‖ ( a n ) n ‖ ‖ p , w := ( ∑ ∑ n ∈ ∈ N | a n | p w n p ) 1 p {\displaystyle \|(a_{n})_{n}\|_{p,w}:=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|^{p}w_{n}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} .

Dies ist nichts anderes als der Raum L p ( N , P ( N ) , μ μ w ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\mu _{w})} , wobei das Maß μ μ w {\displaystyle \mu _{w}} durch μ μ w ( { n } ) = w n {\displaystyle \mu _{w}(\{n\})=w_{n}} definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die Lp-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

T : : ℓ ℓ q ( w ) → → ℓ ℓ p ( w ) ′ , b = ( b n ) n ↦ ↦ T b , T b ( ( a n ) n ) := ∑ ∑ n ∈ ∈ N a n b n w n p {\displaystyle T\colon \ell ^{q}(w)\rightarrow \ell ^{p}(w)\,',\,b=(b_{n})_{n}\mapsto T_{b},\quad T_{b}((a_{n})_{n}):=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}b_{n}w_{n}^{p}} .

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck ∑ ∑ n ∈ ∈ N a n b n {\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}b_{n}} gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren w n p {\displaystyle w_{n}^{p}} vermeiden. Dazu muss man von der Folge ( b n ) n ∈ ∈ ℓ ℓ q ( w ) {\displaystyle (b_{n})_{n}\in \ell ^{q}(w)} zur Folge ( b n w n p ) n {\displaystyle (b_{n}w_{n}^{p})_{n}} übergehen. Da p − − p q = − − q {\displaystyle p-pq=-q} , gilt

‖ ‖ ( b n ) n ‖ ‖ q , w q = ∑ ∑ n ∈ ∈ N | b n | q w n p = ∑ ∑ n ∈ ∈ N | b n w n p | q w n p − − p q = ∑ ∑ n ∈ ∈ N | b n w n p | q w n − − q = ‖ ‖ ( b n w n p ) n ‖ ‖ q , 1 w q {\displaystyle \|(b_{n})_{n}\|_{q,w}^{q}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|b_{n}|^{q}w_{n}^{p}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|b_{n}w_{n}^{p}|^{q}w_{n}^{p-pq}=\sum _{n\in \mathbb {N} }|b_{n}w_{n}^{p}|^{q}w_{n}^{-q}=\|(b_{n}w_{n}^{p})_{n}\|_{q,{\frac {1}{w}}}^{q}} ,

wobei 1 w {\displaystyle {\tfrac {1}{w}}} für die aus den Kehrwerten der w n {\displaystyle w_{n}} gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus

ℓ ℓ q ( w ) → → ℓ ℓ q ( 1 w ) , ( b n ) n ↦ ↦ ( b n w n p ) n {\displaystyle \ell ^{q}(w)\rightarrow \ell ^{q}\left({\tfrac {1}{w}}\right),(b_{n})_{n}\mapsto (b_{n}w_{n}^{p})_{n}} .

Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus T {\displaystyle T} , so gelangt man zucite-ref-18[18]:

Es seien ( w n ) n {\displaystyle (w_{n})_{n}} eine Folge von Gewichten, 1 ≤ ≤ p < ∞ ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } und q {\displaystyle q} der zu p {\displaystyle p} konjugierte Exponent. Dann ist S : : ℓ ℓ q ( 1 w ) → → ℓ ℓ p ( w ) ′ , b = ( b n ) n ↦ ↦ S b , S b ( ( a n ) n ) = ∑ ∑ n ∈ ∈ N a n b n {\displaystyle S\colon \ell ^{q}\left({\tfrac {1}{w}}\right)\rightarrow \ell ^{p}(w)\,',\ b=(b_{n})_{n}\mapsto S_{b},\ S_{b}((a_{n})_{n})=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}b_{n}}

ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man

ℓ ℓ p ( w ) ′ ≅ ≅ ℓ ℓ q ( 1 w ) {\displaystyle \ell ^{p}(w)\,'\cong \ell ^{q}\left({\tfrac {1}{w}}\right)}

schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über Lp-Dualität ist, außer wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

cite-note-11. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17

cite-note-22. ↑ Dunford, Schwartz: Linear Operators, Part I, General Theory. ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 1

cite-note-33. ↑ M. Fréchet: Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéares, C. R. Acad Sci Paris 144 (1907), Seiten 1414–1416

cite-note-44. ↑ F. Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), Seiten 449–497

cite-note-55. ↑ O. M. Nikodým :Contribution à la théorie des fonctionelles linéaires en connexion avec la théorie de la mesure des ensembles abstraits, Mathematica Cluj 5 (1931), Seiten 130–141

cite-note-66. ↑ E. J. McShane: Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc. 1 (1950), Seiten 401-408

cite-note-77. ↑ H. Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Zeitschrift 5 (1919), Seiten 186–221

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